Рациональные числа

---

Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью , где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число. Такую дробь следует понимать как результат деления m на n, даже если нацело разделить не удаётся. В реальной жизни рациональные числа используются для счёта частей некоторых целых, но делимых объектов, например, тортов или других продуктов, разрезаемых на несколько частей, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.

Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано в виде:

В позиционной системе счисления рациональное число представляется периодической дробью. Более того, наличие представления в виде периодической дроби является критерием рациональности действительного числа.
3=3,(0)
7/22=0,3(18)
- (3/17)= - 0,(1764705882352941)

Множество рациональных чисел счетно. Т.е. можно при помощи натуральных чисел пронумеровать все рациональные.

Основные свойства рациональных чисел

Множество рациональных чисел удовлетворяет следующим основным свойствам:

1. Упорядоченность
2. Операция сложения
   Правило суммирования рациональных чисел имеет следующий вид:
   

   

3. Операция умножения
   Правило умножения рациональных чисел имеет следующий вид:
4. Транзитивность отношения порядка
   Если a<b и b<c, то a<c; если a=b и b=c, то a=c
5. Коммутативность сложения
   a+b=b+a
6. Ассоциативность сложения
   (a+b)+c=a+(b+c)
7. Коммунтативность умножения
   ab=ba
8. Ассоциативность умножения
   (ab)c=a(bc)
9. Дистрибутивность умножения относительно сложения
   (a+b)c=ac+bc
10. Связь отношения порядка с операцией сложения
    a > b => a+c > b+c
11. Связь отношения порядка с операцией умножения
    a > b => ac > bc
12. Наличие нуля
    Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
    a+0=a
13. Начилие единицы
    Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
    a×1=a
14. Наличие противоположных чисел
    Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0. a+(-a)=0
15. Наличие обратных чисел
    Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1. a×a^-1=1
16. Аксиома Архимеда
    Каково бы ни было рациональное число a, можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a.

    

Недостаточность рациональных чисел

В геометрии следствием так называемой аксиомы Архимеда является возможность построения сколь угодно малых величин, выражаемых рациональными числами вида 1/n. Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические расстояния. Легко показать, что это неверно.
Из теоремы Пифагора известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника выражается как квадратный корень суммы квадратов его катетов. Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна √2, т. е. числу, квадрат которого равен 2.

Однако √2 не есть рациональное число. И из этого следует, что существуют отрезки на плоскости, а, значит, и на числовой прямой, которые не могут быть измерены рациональными числами.

Показать комментарии