Иррациональные числа

---

Иррациональные числа

Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде дроби , где m — целое число, n — натуральное число.
О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа √2.

Множество иррациональных чисел обычно обозначается . Таким образом — множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных (действительных) и рациональных чисел.

Свойства иррациональных чисел:

• Всякое вещественное число может быть записано бесконечной десятичной дробью, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
• Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Каждое трансцендентное число является иррациональным.
• Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
• Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.

Примеры иррациональных чисел

√2 - иррациональное число

Допустим противное: √2 рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где m и n — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

Отсюда следует, что m² чётно, значит, чётно и m. Пускай m=2r, где r - целое. Тогда (2r)²=2n² => n²=2r².
Следовательно, n² чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что m и n чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и √2 — иррациональное число.

log₂3 — иррациональное число

Допустим противное: log₂3 рационален, то есть представляется в виде дроби , где m и n — целые числа. Поскольку log₂3>0, m и n могут быть выбраны положительными. Тогда

Но 2^m чётно, а 3ⁿ нечётно. Получаем противоречие.

e — иррациональное число

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757…

Другие иррациональные числа

Иррациональными являются:

• √n для любого натурального n, не являющегося точным квадратом
• e^x для любого рационального x≠0
• lnx для любого положительного рационального x≠1
• π, а также πⁿ для любого натурального n

Показать комментарии