Дружественные числа
Дружественные числа - это такая пара натуральных чисел А и В, что число А есть сумма всех натуральных делителей числа В, меньших В; а число В есть сумма всех натуральных делителей числа А, меньших А.
К дружественным числам относятся и совершенные числа (каждое совершенное число дружественно самому себе).
Первая пара различных наименьших дружественных чисел 220 и 284:
220=1+2+4+71+142,
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110;
была известна еще древнегреческому ученому Пифагору (6 в. до н.э.). Весьма вероятно, что он первым обратил на них внимание.
Пифагорейцы считали их символом дружбы. Пифагор говорил: "Мой друг тот, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284".
История изучения дружественных чисел
Многие математики пытались указать общий способ получения дружественных чисел, дающий эту пару и другие, желательно в бесконечном количестве (для совершенных чисел подобное удалось сделать Эйлеру).
В IX веке арабский математик Сабит ибн Корра (абу Хасан Сабит ибн Корра ибн Марван аль Харрани) - врач, астроном - нашел общий способ получения дружественных чисел.
Теорема Сабита: Если все три числа p=3×2n-1-1, q=3×2n-1, r=9×22n-1-1 – простые, то числа А=2n×p×q и B=2n×r – дружественные.
При n=2 это пара чисел, найденная Пифагором.
n=4: числа 17 296 и 18 416;
n=7: числа 9 363 584 и 9 437 056.
В настоящее время известно, что этими тремя случаями исчерпываются все значения n≤20 000, при которых указанный способ дает дружественные числа. Использовал ли сам Сабит свою теорему для отыскания дружественных чисел при n>2, неизвестно.
Открытие второй (n=4) и третьей (n=7) пары дружественных чисел ранее приписывалось к открытию их в 1636 французским юристом и математиком Пьером Ферма и Декарту соответственно, однако оказалось, что она была известна за три с половиной столетия до них. В одном из трактатов марроканского ученого ибн аль Банны (Аль-Хорезми) была обнаружена следующая фраза: “Числа 17296 и 18416 дружественны. Аллах всеведущ”.
Многие античные и арабские ученые, а также ученые средневековья посвящали в своих трактатах одну из глав дружественным числам. Однако большей частью было мало новых сведений и много ошибок. Кроме того, авторы сочинений настаивают на возможности практического применения дружественных чисел. Так ибн Хальдун прилагает к своему трактату руководство по изготовлению талисмана дружбы, а мадридский ученый аль-Маджрити приводит рецепт взаимной любви: "На чем-либо напишите числа 220 и 284, меньшее дайте объекту любви, а большее съешьте сами". Ученый добавляет, что действенность этого способа он проверил на себе.
После периода малозначительных работ существенного продвижения в решении этой проблемы добился Леонард Эйлер, который в 1747-1750 гг. указал сразу 59 пар дружественных чисел. Он получил утверждение, очень похожее на теорему Сабита, но чуть более общее. Правда, не смог с помощью него найти новых дружественных чисел, т.к. в то время таблицы простых чисел были составлены только до 100 000.
Лишь А. Лежандр и российский ученый П.Л.Чебышев, используя новый критерии простоты чисел, сумели обнаружить с помощью теоремы Эйлера еще одну пару дружественных чисел.
Поразительное открытие в 1867 г. (в некоторых источниках указана дата - 1887) сделал 16-летний итальянец Никколо Паганини (тезка знаменитого скрипача), обнаружив вторую по величине пару дружественных чисел 1184 и 1210 (ближайшую к 220 и 284), которую проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа, чем потряс весь математический мир.
В настоящее время известны все пары дружественных чисел. В основном их находят сейчас при помощи компьютера. Определенный интерес для любителей представляет программа поиска совершенных чисел. Ее схема проста: в цикле для каждого числа проверять сумму его делителей и сравнивать ее с самим числом; если они равны, то это число совершенное. Вот пример кода на языке Pascal:
VAR I, N, Summa: LONGINT;
Delitel: INTEGER;
begin
FOR I: =3 TO 34000000 DO BEGIN
Summa: =1;
FOR Delitel: =2 TO SQRT (I) DO BEGIN
N :=( I DIV Delitel);
IF N*Delitel=I THEN
Summa: =Summa + Delitel + (I DIV Delitel);
END;
IF INT (SQRT (I)) =SQRT (I) THEN
Summa: =Summa-INT (SQRT (I));
IF I=Summa THEN WRITELN (I,' - ', Summa);
END;
end.
Приведем первые 12 пар дружественных чисел:
220 и 284
1184 и 1210;
2620 и 2924;
5020 и 5564;
6232 и 6368;
10744 и 10856;
12285 и 14595;
17296 и 18416;
63020 и 76084;
66928 и 66992;
67095 и 71145;
69615 и 87633.